5年以上前に契約したレンタルサーバーにおいて、WordPressがアップデートできないことがあります。
phpのバージョンが低いのが主な原因のようです。

まずは、WordPressのダッシュボードをご確認ください。
下記のような表示が出ているでしょうか？

次に左メニューの更新ボタンを押し、WordPressの更新画面をご確認ください。
下記の場合であれば、利用しているサーバーのphpのバージョンが低く、最新のWordPressに対応していません。最新のWordPressにアップグレードする為には、php5.6.2以上が必要です。

phpのバージョンアップをするには

WordPressのアップデートができないのは、phpのバージョンの低さが原因なので、phpのバージョンアップをすれば問題ありません。

(1)phpのバージョンアップができる場合

利用しているサーバーのコントロールパネルをご覧ください。
phpのバージョン設定のところでphp5.6以上に上げられるでしょうか？

現在WordPressで推奨されているphpのバージョンは7.4以上となっています。
可能であれば、なるべく高いバージョンのphpにしてください。

(2)phpのバージョンアップができない場合

5年以上前の古いサーバー環境では、phpのバージョンアップに限界があるので、どこのサーバー会社も新しいサーバーへ移行しています。ただ、新サーバーへの移行は自動的に行われるものではなく、ユーザーが何らかの対応をする必要があります。ボタン1つで簡単に移行できるところもあれば、多くのマニュアルを読み手動で移行する必要があるところもあり、サーバー会社によって大きく異なります。
詳しくは、サーバー会社からの連絡やホームページを確認してください。

最後に

ご自身で新サーバーへ移行するのが難しそうであれば、弊社までお問い合わせください。