WordPressのバージョンアップする時にテーマは関係しているのでしょうか？という質問を頂いたので、その回答をご紹介いたします。

ご利用のWordPressのテーマの記述が最新のWordPressのバージョンに対応していれば問題ありません。
利用しているテーマが古かったり、テーマをいろいろカスタマイズしていたり、独自のプログラムを使われていると、最新のWordPressのバージョンに対応していない為、エラーが生じたりサイトが表示されなくなったりします。

数年前から普及しているWordPress5.XからWordPressの最新版へのアップデートでは、このようなエラーが出ることは少ないです。ただWordPress4.XからWordPressの最新版へのアップデート関しては、何らかのエラーが出るかもしれません。もしずっとWordPressを更新していないと、何らかのエラーが生じる可能性は高いです。

表示されるエラーの部分が簡単な修正で済めば問題ありませんが、修正できない場合はWordPressのバージョンアップを断念せざる終えません。
ご利用のテーマのアップデートしたり、テーマを変えたりすることで済む場合もありますが、テーマをカスタマイズしていたり、オリジナルなテーマを使っている場合はサイトのテーマを作り直す必要が出てきます。

なお、この場合にWordPressのバージョンアップを諦めるという選択肢もありが、これはセキュリティ面でお勧めできません。WordPressはCMSの中で最も有名で、シェアが高いCMSですが、その反面最も狙われやすいCMSだからです。WordPressの脆弱性を攻撃され、サイトが改ざんされたり、乗っ取られたりすることがあります。 是非ともWordPressは最新のバージョンを使うにしてください。

補足1

サーバーのPHPのバージョンアップした時も、テーマの記述が最新のPHPのバージョンに対応していなければ、エラーが生じるのでご注意ください。

補足2

今回はテーマに限りお話しましたが、プラグインも最新のWordPressに対応している必要があります。
もしそのサイトに必要不可欠なプラグインがアップデートできない、最新のWordPressに対応していないなら、WordPressのバージョンアップを見送る必要が出てくるので、ご注意ください。

最後に

現在利用しているWordPressのバージョンが古く、バージョンアップに不安ががある場合は、弊社にご相談ください。 WordPressのバージョンアップの可否を判断し、適切な対応をいたします。